Les chiffres égyptiens

Je ne peux ici citer tous les systèmes qu’Ifrah rapporte. Citons juste quelques exemples de civilisations connues, à commencer par l’Égypte de l’époque pharaonique.

Leur système était basé lui aussi sur une simple juxtaposition de symboles représentant divers bases (par exemple, 283 est représenté par 2 spirales, 8 arcs de cercle, 3 bâtons). (Voir exemple.) Il existait une représentation pour les fractions (dénominateur sous l’hiéroglyphe de de la bouche), mais le numérateur était toujours 1.

L’écriture hiératique (utilitaire et courante, sur papyrus, au contraire des hiéroglyphes ornementaux) utilisa très vite des ligatures entre les différents symboles d’un même ensemble, d’où la création de quasi-chiffres pour 1, 2, 3,... 9, 10, 20, ... 90, 100,... 900, 1000,... 9000 (noter l’effort de mémoire nécessaire).

Les scribes égyptiens calculaient par écrit, malgré le côté rudimentaire de leur notation. L’addition était relativement facile, mais les multiplications et divisions étaient bien plus ardues (duplications successives...).

La numération grecque

Les Grecs utilisaient un système proche de celui des Romains, avec les mêmes inconvénients : utilisation de lettres comme chiffres, symboles différents pour chaque ordre de grandeur (Ι pour 1, Γ pour 5, Δ pour 10, Η pour 100, Χ pour 1000, Μ pour 10000...) avec de nombreuses variations et modifications, base cinq intermédiaire, principe d’addition.

Cependant ce système peu pratique régressa lors de l’introduction de signes supplémentaires, variations des précédents, destinés à réduire le nombre de caractères des grands nombres. Toute possibilité opératoire (calcul écrit) devenait alors en pratique impossible.

Les numérations alphabétiques

L’utilisation de lettres comme chiffres se retrouve chez d’autres peuples, notamment les Hébreux (qui ont emprunté successivement leur système, sinon leur langue, aux Égyptiens, aux Araméens, et probablement aux Grecs), les Syriaques, les Arabes (qui ont utilisé un temps les lettres grecques pour leurs chiffres), les Éthiopiens (adaptation du système grec)...

La numération romaine

Les chiffres romains n’étaient à l’origine pas des lettres, mais probablement des symboles dérivés des traits que l’on peut faire sur des bâtons, et ensuite assimilés à l’alphabet hérité des Phéniciens.

Le système romain était très voisin du grec. Sur le plan opératoire, il était même pire à cause de l’introduction d’un principe de soustraction, qui rendait le décodage plus compliqué (par exemple, 1944 noté MCMXLIV). La notation des grands nombres, vite nécessaire dans un Empire de cette taille, était également démentielle : ((((I)))) pour le million, I)) pour cinq mille... (Voir d’autres exemples sur ce site : http://aviatechno.free.fr/unites/romains.php.)

Toute velléité d’utiliser les nombres romains pour du calcul écrit était donc tuée dans l’œuf. En fait, comme dans nombre d’autres systèmes, on ne pouvait que mémoriser un résultat final. Les calculs eux-mêmes étaient réalisés au moyen de tables à compter et de jetons (nous y reviendrons).

Pour le malheur de l’Occident, ce système archaïque n’évolua jamais, et il régna sans partage jusqu’à la fin du Moyen-Âge.

Les nombres chinois

Le système chinois est plusieurs fois millénaire, et a été figé il y a presque 1500 ans. Il est plus simple que nombre d’autres avec seulement treize symboles standard : 一 二 三 四 五 六 七 八 九 pour 1 à 9, 十 pour 10, 百 pour 100, 千 pour 1000, 萬 pour 10000 (voir Wikipédia pour plus de détails et la construction). Il existe une notation financière très compliquée (par exemple 壹 pour 1, 捌 pour 8 !!) destinée à lutter contre les falsifications.

C’est l’exemple type d’un système hybride, car il associe multiplication et addition :
九千 五百 六十 四 = 9x1000 + 5x100 + 6x10 + 4 = 9564.

Comme souvent, la représentation des grands nombres pousse la logique du système à ses limites. Là, on utilise 10000 comme base auxiliaire pour « gratter » cinq ordres de grandeur ( 十萬萬 五百 十 九 = 10x10000x10000 + 5x100 + 10 + 9 = 1000000519). Il existe des symboles spéciaux peu usités pour les puissances de 10 élevées.

On remarquera que la notation positionnelle était à portée de ce système : après tout, pourquoi s’encombrer des symboles des puissances de dix (百, 萬...) si la présence d’un nombre suffit ? Le bond n’a cependant été effectué en Chine que par les mathématiciens au sein d’une notation totalement différente, bien plus simple, à base de bâtons juxtaposés dans l’ordre des puissances de dix. Un problème de cette notation était l’ambiguïté introduite en l’absence d’un signe marquant l’absence d’un ordre de grandeur (sans zéro, 266 pourrait signifier aussi bien 2066 que 2660 ou 20606). Le zéro fut finalement introduit, au VIIIè siècle environ, mais peut-être sous l’influence des Indiens dont le système commençait à s’exporter. Le système chinois parvint alors à un niveau proche de celui que nous utilisons.

Cependant, les comptables chinois ne calculaient pas par écrit.

Les abaques grecques et romaines

Avant l’invention du calcul écrit, pour effectuer leurs opérations, les Chinois, les Grecs et Romains inventèrent les abaques. Constituée de colonnes tracées dans du sable ou de la cire, chacune valant dix fois celle d’à côté, une abaque rend opératoire même les notations les plus primitives. Cela suffisait aux Romains, du moins pour l’addition.

Les abaques persistèrent en Occident bien après la généralisation des chiffres arabes. Le cas extrême est celui du Trésor britannique qui ne passa totalement à l’écrit qu’au début du XIXè siècle, et tire son nom de l’abaque (Exchequer, l’Échiquier).

Quant aux Chinois, ils adoptèrent au XIVè siècle le boulier, instrument extrêmement efficace que les calculatrices électroniques ont encore du mal à remplacer.

Plan :
Partie 1 : Super-résumé
Partie 2 : Les premiers décomptes
Partie 3 : Les bases
Partie 4 : Le système sumérien
Partie 5 : Les systèmes égyptiens, chinois, alphabétiques
Partie 6 : Le système maya
Partie 7 : Le système indien
Partie 8 : Les chiffres indiens en terre d’Islam
Partie 9 : La difficile transmission à l’Occident chrétien
Partie 10 : L’impact des chiffres sur le développement mathématique
Partie 11 : La mécanisation
Partie 12 : Les calculateurs électriques et électroniques